英文名称：Functions of Complex Variables & Integral Transformation
课程类型：公共基础课
课程要求：必修
学时/学分：32/2
适用专业：自动化
一、课程性质与任务
复变函数与积分变换是高等工科院校许多专业的一门重要基础课。复变函数是研究复变函数之间相互依赖关系的一门数学学科，而积分变换则是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。复变函数、积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。
通过本门课程的教学，使学生较系统、完整地了解复变函数与积分变换理论的基本内容，学会处理复变量函数的一些基本问题，包括解析函数概念、复变函数的积分、解析函数的级数表示、洛朗级数、留数理论、拉普拉斯变换等。学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，将为学习有关专业课和扩大数学知识面打下必要的数学基础。
二、课程与其他课程的联系
本课程应在学生学完《高等数学》之后，在学习专业课之前安排为宜。《复变函数与积分变换》是学好后继专业课程的基础和工具。
三、课程教学目标
1．使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上，建立良好的数学基础，对学习其它课程有所帮助。
2．在课程的学习中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，了解复变函数与积分变换的一些基本知识，内容包含复变函数、解析函数、解析函数的级数表示、留数定理、保形映射以及工程上常用的拉普拉斯变换等，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。
3．通过上课、课后辅导、作业等各教学环节，逐步培养学生具有比较熟练的运算能力。
4．在传授数学知识的同时，通过各教学环节，逐步培养学生具有一定程度的抽象思维能力和一定程度的逻辑推理能力。
5.本课程以讲授为主，在课堂上重视发挥学生的积极性与主动性，以启发、诱导的方式激发学生的创造性思维。
四、教学内容、基本要求与学时分配
序号
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教学内容
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教学要求
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学时
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教学
方式
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对应教学目标
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1
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一、复数与复变函数
1．复数及其代数运算；
2．复数的几何表示；
3．复数的乘幂与方根；
4．区域；
5．复变函数；
6．复变函数的极限和连续性。
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1．熟练掌握复数的各种表示方法及其运算； 2．了解区域的概念；
3．理解复变函数的概念及其几何意义——映射；
4．知道复变函数的极限和连续的概念。
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4
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讲授
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1、2、3、4、5
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2
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二、解析函数
1．解析函数的概念；
2．函数解析的充要条件；
3．初等函数。
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1．理解复变函数导数及复变函数解析的概念；
2．熟练掌握函数解析的充要条件；
3．了解指数函数、三角函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质（包括在单值域中的解析性）。
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6
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讲授
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1、2、3、4
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3
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三、复变函数的积分
1．复变函数积分的概念；
2．柯西-古萨基本定理；
3．基本定理的推广；
4．原函数与不定积分；
5．柯西积分公式；
6．解析函数的高阶导数。
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1．理解复变函数积分定义，了解其性质，会求复变函数积分；
2．理解柯西积分定理；
3．掌握柯西积分公式、高阶导数公式；
4．知道解析函数无限次可导的性质；
5．了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。
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6
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讲授
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1、2、3、4、5
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4
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四、级数
1．复数项级数；
2．幂级数；
3．泰勒级数；
4．洛朗级数。
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1．理解复数项级数的收敛、发散及绝对收敛等概念；
2．了解幂级数收敛圆的概念；
3．掌握简单的幂级数收敛半径的求法；
4．知道幂级数在收敛圆内的基本性质；
5．了解泰勒定理。
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4
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讲授
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1、2、3、4
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5
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五、留数
1．孤立奇点；
2．留数。
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1．了解孤立奇点分类(不包括无穷远点)；
2．会判别奇点类型和极点的级数；
3．理解留数的概念，掌握极点处留数的求法。
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6
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讲授
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1、2、3
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6
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六、Laplace变换
1．Laplace变换的概念；
2．Laplace变换的性质；
3．Laplace逆变换。
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1．掌握拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换的概念；
2．了解拉普拉斯变换的性质；
3．会求一些简单函数的拉普拉斯变换及其逆变换。
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6
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讲授
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1、2、3、5
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五、其他教学环节（课外教学环节、要求、目标）
辅导答疑：通过辅导答疑消化、理解复变函数与积分变换的基本概念、基本理论和基本计算方法。
六、教学方法
本课程以课堂讲授为主，结合CAI方式辅助教学。每章学习完成后通过小测验或综合练习等教学手段和形式促进完成课程的教学任务。
在课堂教学中，着重基本内容的讲解，采用由简到难、精讲多练的方法，加强典型习题的练习，提高学生动手能力，重视学生良好的学习方法和学习习惯的培养。1．注重理解，在理解的基础上熟记基本概念、基本公式和基本定理。2．通过典型例题加深对概念、性质、定理的理解。3．必须熟记基本初等函数的导数公式及基本积分公式。4．强调基本概念的正确理解；强调基本理论的实际应用；强调基本计算方法的运用。
七、考核方式
最终成绩由平时考核成绩和期末考试成绩等组合而成。各部分所占比例如下：
1.平时考核：20%。主要考查出勤、课堂表现、回答问题、测验及作业等方面。考核学生对知识点的理解和掌握程度，考核学生对复变函数与积分变换的基本概念、基本理论和计算方法的掌握程度。
2.期末考试：80%。书面考试形式。主要考核学生对复变函数与积分变换的基本概念、基本理论和计算方法的掌握程度。题型为1.选择题，2.填空题，3.计算题，4.证明题等。时间为110分钟，背靠背出题，集体流水阅卷。
八、教材及参考书目
1．教材
复变函数. 西安交通大学高等数学教研室编. 高等教育出版社，1996年.
积分变换. 东南大学数学系张元林编. 高等教育出版社，2012年.
2．参考教材
复变函数与积分变换. 华中科技大学数学系. 高等教育出版社, 2003年.
课程教学大纲修订小组成员：史俊贤、边颖、李石涛、汪妍、姜雪、滕勇
修订时间：2016年8月
